Objetivo: El alumno entenderá los conceptos elementales del álgebra lineal y los aplicará en problemas del ámbito económico y de gestión de negocios.

4.1 Sistemas de Ecuaciones Lineales

Ecuación lineal con n incógnitas

Es cualquier expresión del tipo: a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ + ... + a_nx_n= b, donde a_i, b Pertenece

a_i son los coefecientes.

b es el término independiente.

x_i son las incógnitas.

Solución de una ecuación lineal

Cualquier conjunto de n números reales que verifica la ecuación se denomina solución de la ecuación.

Ejemplo

Dada la ecuación x + y + z + t = 0, son soluciones de ella:

(1,−1,1,−1), (−2,−2,0, 4).

Ecuaciones equivalentes

Dos o más ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Sistemas de ecuaciones lineales

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + .....................+a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + .....................+a_2nx_n = b₂

...............................................................

a_m1x₁ + a_m2x₂ + .....................+a_mnx_n = b_m

x_i son las incógnitas, (i = 1, 2,...,n).

a_ij son los coeficientes, (i = 1, 2,..., m), (j = 1, 2,..., n).

b_i son los términos independientes, (i = 1,2,...,m).

m, n

m > n, ó m = n, ó m < n.

Observe que el número de ecuaciones no tiene por qué ser igual al número de incógnitas.

Cuando n toma un valor bajo, es usual designar a las incógnitas con las letras x, y, z,t, ...

Cuando b_i = 0 para todo i, el sistema se llama homogéneo.

Solución de un sistema

Es cada conjunto de valores que verifica todas las ecuaciones.

Autor: Vitutor

http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/sistemas_1.html

4.1.1 Definición

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

$\left \{ \begin{array}{rcrcrcr} 3 \,x_1 & + & 2\,x_2 & + & \,x_3 & = & 1 \\ 2 \,x_1 & + & 2\,x_2 & + & 4 \,x_3 & = & -2 \\ - \,x_1 & + & \frac{1}{2} \,x_2 & - & \,x_3 & = & 0 \end{array} \right .$

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x₁, x₂ y x₃ que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

Autor: Wikipedia

https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales

4.1.2 Sistemas de Ecuaciones Lineales: Consistentes, Inconsistentes, y su Representación Paramétrica del Conjunto Solución

Autor: blogspot

http://matematicas2jairoreyes.blogspot.mx/2014/11/412-sistemas-de-ecuaciones-lineales.html

4.1.3 Métodos para Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales: Método Gráfico, Igualación, Sustitución, Eliminación (Sumas y Restas).

Método gráfico

Rectas que pasan por el punto: (2,4)

Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El método (manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano, es decir para un espacio de dimensión .

El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resuelve en los siguientes pasos:

Se despeja la incógnita en ambas ecuaciones.
Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la tabla de valores correspondientes.
Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
En este último paso hay tres posibilidades:
1. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas (x,y). "Sistema compatible determinado".
2. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. «Sistema compatible indeterminado».
3. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución en los reales pero si en los complejos.

Igualación

El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita

y

en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

$\left \{ \begin{matrix} y = & 22 - 3x \\ y = & \cfrac{4x + 1}{3} \end{matrix} \right .$

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.

$22 - 3x = \frac{4x + 1}{3}\Rightarrow \quad\ 3(22-3x)=4x+1 \Rightarrow \quad\ 65 = 13x \Rightarrow \quad\ x = 5$

Una vez obtenido el valor de la incógnita

x

, se sustituye su valor en una de las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la

y

La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para despejar x después de averiguar el valor de la y.

Sustitución

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente y a continuación sustituirla en otra ecuación por su valor.

En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:

$\left \{ \begin{matrix} 3x & + y & = & 22 \\ 4x & - 3y & = & -1 \end{matrix} \right .$

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita

y

por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.

$y = 22 - 3x$

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita

y

en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la

x

$4x - 3(22 - 3x) = -1 \qquad \Rightarrow 4x - 66 + 9x = -1 \qquad \Rightarrow 13x -66 = -1, \qquad \Rightarrow 13x = 65$

Al resolver la ecuación obtenemos el resultado

x = 5

, y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos

y = 7

, con lo que el sistema queda ya resuelto.

Reducción

Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.

Por ejemplo, en el sistema:

$\left \{ \begin{matrix} 2x & + 3y & = 5 \\ 5x & + 6y & = 4 \end{matrix} \right .$

No tenemos más que multiplicar la primera ecuación por

-2

para poder cancelar la incógnita

y

. Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:

$-2(2x + 3y = 5) \quad \longrightarrow \quad -4x - 6y = -10$

Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita

y

ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita

x

$\begin{array}{rrcr} -4x & -6y & = & -10 \\ 5x & +6y & = & 4 \\ \hline x & & = & -6 \end{array}$

$x = -6$

El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita

x

en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de

y

si sustituimos en la primera ecuación es igual a:

$\left . \begin{array}{rrcr} 2x & + 3y & = & 5 \\ x & & = & -6 \end{array} \right \} \quad \longrightarrow \quad 2(-6) + 3y = 5 \quad \longrightarrow \quad y = \frac{17}{3}$

Autor: Wikipedia
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales

4.1.4 Sistemas de Ecuaciones Equivalentes

Sistemas de ecuaciones equivalentes

Los sistemas de ecuaciones equivalentes son los que tienen el mismo conjunto de soluciones, aunque tengan distinto número de ecuaciones.

Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si:

Todos los coeficientes son ceros.

Dos ecuaciones son iguales.

Una ecuación es proporcional a otra.

Una ecuación es combinación lineal de otras.

Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones

1 Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.

2 Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.

3 Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.

4 Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.

5 Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.

Autor: Vitutor
http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/equi.html

4.1.5 Eliminación de Gauss y Gauss-Jordan

Método de Gauss

El método de eliminación de Gauss o simplemente método de Gauss consiste en convertir un sistema lineal de necuaciones con n incógnitas, en uno escalonado, en el que la primera ecuación tiene n incógnitas, la segunda ecuación tiene n - 1 incógnitas, ..., hasta la última ecuación, que tiene 1 incógnita. De esta forma, será fácil partir de la última ecuación e ir subiendo para calcular el valor de las demás incógnitas.

]Ejemplo de eliminación de Gauss
Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños. Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los niños. También se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al número de niños. Plantear y resolver el sistema de ecuaciones. $x = \mbox{número de hombres}$ $y = \mbox{número de mujeres}$ $z = \mbox{número de niños}$ Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños: $x + y + z = 30 \;$ Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los niños: $x + 3y = 2z + 20 \;$ También se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al número de niños: $x + y = 2z \;$ Agrupando las tres ecuaciones tenemos el sistema, que ordenado resulta: $\left \{ \begin{array}{l} x + y + z = 30 \\ x + 3y = 2z + 20 \\ x + y = 2z \end{array} \right . \quad \longrightarrow \left \{ \begin{array}{rrrcr} x & +y & +z & = & 30 \\ x & +3y & -2z & = & 20 \\ x & +y & -2z & = & 0 \end{array} \right .$ Aplicamos Gauss, restando la primera ecuación a las dos siguientes: $\left \{ \begin{array}{rrrcr} x & +y & +z & = & 30 \\ & 2y & -3z & = & -10 \\ & & -3z & = & -30 \end{array} \right .$ En este caso en la tercera ecuación se ha eliminado la y, por lo que no es necesario hacer más operaciones. Por lo tanto obtenemos que z = 10 de la tercera ecuación: $-3z = -30 \longrightarrow \quad z = \cfrac{-30}{-3} \longrightarrow \quad z = 10$ Sustituyendo z en la segunda ecuación obtenemos que y = 10: $\left . \begin{array}{rrcr} 2y & -3z & = & -10 \\ & z & = & 10 \end{array} \right \} \longrightarrow \quad 2y - 30 = -10 \longrightarrow \quad 2y = 20 \longrightarrow \quad y = 10$ Sustituyendo z é y en la primera ecuación obtenemos x = 10. $\left . \begin{array}{rrrcr} x & +y & +z & = & 30 \\ & y & & = & 10 \\ & & z & = & 10 \end{array} \right \} \longrightarrow \quad x + 10 + 10 = 30 \longrightarrow \quad x = 30 - 10 - 10 \longrightarrow \quad x = 10$ Con lo que hemos obtenido el resultado del sistema: $\left \{ \begin{array}{l} x + y + z = 30 \\ x + 3y = 2z + 20 \\ x + y = 2z \end{array} \right . \quad \longrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x = 10 \\ y = 10 \\ z = 10 \end{array} \right .$

Eliminación de Gauss-Jordan

Una variante de este método, denominada eliminación de Gauss-Jordan, es un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algorítmico.

]Ejemplo de eliminación de Gauss-Jordan
Supóngase que es necesario encontrar los números x, y, z, que satisfacen simultáneamente al siguiente sistema de ecuaciones lineales: $\left \{ \begin{array}{rrrcr} 2x & + y & -z & = & 8 \\ -3x & - y & + 2z & = & -11 \\ -2x & + y & + 2z & = & -3 \end{array} \right .$ Inicialmente, se escriben los coeficientes del sistema como una matriz aumentada. Lo que en notación matricial se denota por: $\left ( \begin{array}{rrrr} 2 & 1 & -1 & 8 \\ -3 & -1 & 2 & -11 \\ -2 & 1 & 2 & -3 \end{array} \right )$ Posteriormente, se reduce la incógnita $x$ , sumando a la segunda fila, la primera multiplicada por $\frac{3}{2}$ , y a la tercera, la primera fila. La matriz queda así: $\left ( \begin{array}{rrrr} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 5 \end{array} \right )$ El siguiente paso consiste en eliminar la incógnita $y$ en la primera y tercera fila, para lo cual se suma la segunda multiplicada por $-2$ y por $-4$ , respectivamente. $\left ( \begin{array}{rrrr} 2 & 0 & -2 & 6 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{array} \right )$ Por último, se elimina $z$ , tanto de la primera como de la segunda fila, sumándoles la tercera multiplicada por $-2$ y por $\frac{1}{2}$ , respectivamente: $\left ( \begin{array}{rrrr} 2 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{array} \right )$ Llegados a este punto se puede resolver directamente las ecuaciones que se nos plantean: $\left \{ \begin{matrix} 2x = 4 \\ \cfrac{y}{2} = \cfrac{3}{2} \\ -z = 1 \end{matrix} \right .$ O, si se prefiere, se puede multiplicar las tres filas de la matriz por: $\frac{1}{2}$ , $2$ y $-1$ respectivamente, y obtener así automáticamente los valores de las incógnitas en la última columna. $\left \{ \begin{matrix} x = & 2 \\ y = & 3 \\ z = & -1 \end{matrix} \right .$

Autor: Wikipedia
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales

4.1.5.1 Definición de Matriz

En matemática, una matriz es un arreglo bidimensional de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo. La notación de una matriz

\mathbf{A}

tiene la forma:

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix}$

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar transformaciones lineales dada una base. En este último caso, las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

Autor: Wikipedia
https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)

4.1.5.2 Expresión Matricial de un Sistema de Ecuaciones Lineales

Expresión matricial de un sistema lineal

Dado un sistema de ecuaciones
$\left\{ \begin{array}{lll} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2 \\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3 \end{array} \right.$

Se puede expresar de forma matricial de la siguiente manera:

$\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right ) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ) = \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right )$

La expresión anterior, de forma abreviada $A \cdot X = B$ , se llama expresión matricial del sistema. Las matrices se conocen como:

matriz de los coeficientes

matriz de las incógnitas

matriz de los términos independientes

Matriz ampliada

Se llama matriz ampliada (se representa por

) a la matriz de los coeficientes ampliada con la columna de los términos independientes.

$A^* = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_3 \end{array} \right )$

Es frecuente expresar la matriz de los coeficientes (

) y la matriz ampliada (

) en una única expresión:

$A|A^* = \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right. \left | \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right )$

Autor: Matematicasies

http://matematicasies.com/Expresion-matricial-de-un-sistema-lineal

4.1.5.3 Operaciones Elementales sobre Renglones

Operaciones en renglones de matrices

Hay 3 operaciones básicas usadas en los renglones de una matriz cuando está usando la matriz para resolver un sistema de ecuaciones lineales. El objetivo usualmente es conseguir que la parte izquierda de la matriz se parezca a la matriz identidad.

Las tres operaciones son:

Cambiar renglones
Multiplicar un renglón por un número
Sumar renglones

Cambio de renglones

Puede cambiar los renglones de una matriz para obtener una matriz nueva.

En el ejemplo anterior mostrado, movimos el Renglón 1 al Renglón 2, el Renglón 2 al Renglón 3, y el Renglón 3 al Renglón 1. (La razón para hacer esto es conseguir que el 1 esté en la esquina superior izquierda.)

Multiplicar un renglón por un número

Puede multiplicar cualquier renglón por un número. (Esto significa multiplicar cada entrada en el renglón por el mismo número.)

En este ejemplo, hemos multiplicado el Renglón 3 de la matriz por 1/3. (Esto nos arroja el 1 que necesitamos en el Renglón 3, Columna 3.)

Sumar renglones

También puede sumar dos renglones juntos, y reemplazar un renglón con el resultado.

Por ejemplo, en la matriz que resultó del último ejemplo, podemos sumar los renglones 2 y 3 juntos, entrada por entrada:

Luego, reemplazamos el Renglón 2 con el resultado.

Sumando múltiplos de renglones

Dijimos que únicamente hay tres operaciones, y así es. Pero usando la combinación de las dos últimas operaciones, podemos sumar múltiplos enteros de renglones a otros renglones, para hacer que las cosas vayan más rápido.

Retrocediendo un paso, tenemos la matriz:

Ahora en lugar de solo sumar el Renglón 2 + Renglón 3, sume el Renglón 2 + (2 × Renglón 3):

Luego reemplace el Renglón 2 con el resultado.

De esta forma, obtenemos un 0 en el Renglón 2, Columna 3.

Podemos hacer esto nuevamente para tener un 0 en el Renglón 2, Columna 1. Aquí, multiplicamos el Renglón 1 por –2, sumamos al Renglón 2, y reemplazamos el Renglón 2 con el resultado.

Mostraremos unos pocos pasos más, para obtener la matriz identidad 3 × 3 en la izquierda (y así resolver el sistema).

El paso siguientes es sumar el Renglón 2 + (4 × Renglón 3) para tener un 0 en el Renglón 2, Columna 3.

Enseguida, necesitamos un cero en el Renglón 1, Columna 3.

El último paso es solo una aplicación de la segunda operación, multiplicar un renglón por un número.

Ahora tenemos la solución como una ordenada triple (1, 0, –2).

Nota importante: Si las ecuaciones representadas por su matriz original representan líneas idénticas o paralelas, no podrá obtener una matriz identidad usando estas operaciones de renglones. En este caso, la solución o no existe o hay infinitamente muchas soluciones al sistema.

Autor: Hotmath

http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/matrix-row-operations.html

4.1.5.4 Reducción de Gauss y Gauss-Jordan

Reducción de gauss y Gauss- Jordan

Desarrollo

El Método de Gauss – Jordan o también llamado eliminación de Gauss – Jordan, es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n números de variables, encontrar matrices y matrices inversas, en este caso desarrollaremos la primera aplicación mencionada.

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este método, se debe en primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales en su notación matricial:

Entonces, anotando como matriz (también llamada matriz aumentada):

Una vez hecho esto, a continuación se procede a convertir dicha matriz en una matriz identidad, es decir una matriz equivalente a la original, la cual es de la forma:

Esto se logra aplicando a las distintas filas y columnas de las matrices simples operaciones de suma, resta, multiplicación y división; teniendo en cuenta que una operación se aplicara a todos los elementos de la fila o de la columna, sea el caso.

Obsérvese que en dicha matriz identidad no aparecen los términos independientes, esto se debe a que cuando nuestra matriz original alcance la forma de la matriz identidad, dichos términos resultaran ser la solución del sistema y verificaran la igualdad para cada una de las variables, correspondiéndose de la siguiente forma:

d1 = x
d2 = y
d3 = z

Ahora que están sentadas las bases, podemos explicar paso a paso la resolución de sistemas de ecuaciones lineales por medio de este método.

Para ilustrarnos mejor lo analizaremos con un ejemplo concreto:

Sea el sistema de ecuaciones:

Procedemos al primer paso para encontrar su solución, anotarlo en su forma matricial:

Una vez hecho esto podemos empezar a operar con las distintas filas y columnas de la matriz para transformarla en su matriz identidad, teniendo siempre en cuenta la forma de la misma:

Lo primero que debemos hacer es transformar el 2 de la 1ª fila de la matriz original en el 1 de la 1ª fila de la matriz identidad; para hacer esto debemos multiplicar toda la 1ª fila por el inverso de 2, es decir ½.

Luego debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz identidad, para lograr esto, buscamos el opuesto de los números que se ubicaron por debajo del 1 de la primera columna, en este caso el opuesto de 3 que será -3 y el opuesto de 5 que será -5.

Una vez hecho esto, se procederá a multiplicar los opuestos de estos números por cada uno de los elemento de la 1ª fila y estos se sumaran a los números de su respectiva columna. Por ej.: en el caso de la 2º fila, se multiplicara a -3 (opuesto de 3) por cada uno de los elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con el numero que le corresponda en columna de la segunda fila. En el caso de la 3ª fila se multiplicara a -5 (opuesto de 5) por cada uno de los elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con el número que le corresponda en columna de la tercera fila.

Nuestro siguiente paso es obtener el 1 de la 2ª fila de la matriz identidad, y procedemos de igual forma que antes, es decir multiplicamos toda la fila por el inverso del numero que deseamos transformar en 1, en este caso -13/2, cuyo inverso es -2/13

Además si observamos la tercera fila, nos damos cuenta que todos los elementos poseen el mismo denominador, entonces podemos eliminarlos multiplicando todos los elementos de la 3º fila por 2 (el denominador); si bien este no es un paso necesario para el desarrollo del método, es útil para facilitar cálculos posteriores.

Autor: Blogspot

http://mate2jason.blogspot.mx/2014/11/4154-reduccion-de-gauss-y-gauss-jordan.html

4.1.5.5 Sistemas Homogéneos

Sistemas homogéneos

Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tiene todos los términos independientes nulos se dice que es homogéneo.

Sólo admite la solución trivial: x₁ = x₂=... = x_n= 0.

La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el nº de incógnitas, o dicho de otra forma, que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo.

r < n

Observemos que esto se debe a que:

De este modo estamos en el caso del teorema de Rouche en el que r(A)=r(A') y su valor es menor al número de incógnias, siendo así el sistema compatible indeterminado.

Ejemplos

r = 3 n = 3

Autor: Vitutor

http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/homogeneos_2.html

4.2 Álgebra de Matrices

Álgebra de matrices

La matriz unidad de orden n×n es la matriz I de orden n×n en la cual todas las entradas son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1. En símbolos:

Iij = 1 si i = j y Iij = 0 si i ≠ j.

Una matriz cero es una matriz O en la cual todas las entradas son cero.

Las operaciones de adición, multiplicación escalar, multiplicación entre matrices se cumplen las siguientes reglas:

A+(B+C) = (A+B)+C	Regla asociativa de adición
A+B = B+A	Regla conmutativa de adición
A+O = O+A = A	Regla unidad de adición
A+( - A) = O = ( - A)+A	Regla inversa de adición
c(A+B) = cA+cB	Regla distributiva
(c+d)A = cA+dA	Regla distributiva
1A = A	Unidad escalar
0A = O	Cero escalar
A(BC) = (AB)C	Regla asociativa de multiplicación
AI = IA = A	Regla unidad de multiplicación
A(B+C) = AB + AC	Regla distributiva
(A+B)C = AC + BC	Regla distributiva
OA = AO = O	Multiplicación por matriz cero
(A+B)T = AT + BT	Trasposición de una suma
(cA)T = c(AT)	Trasposición de un producto escalar
(AB)T = BTAT	Trasposición de un producto matriz

La única regla que está notablemente ausente es la de conmutatividad del producto entre matrices. El producto entre matrices no es conmutativo: AB no es igual a BA en general.

Ejemplos

La siguiente es la matriz unidad de orden 4×4:

I =	1	0	0	0
	0	1	0	0
	0	0	1	0
	0	0	0	1

El fallo de la regla conmutativa para el producto entre matrices se muestra por el siguiente ejemplo:

A =		0	1
		1/3	-1

B =

	1	-1
	2/3	-2

AB =

	2/3	-2
	-1/3	5/3

BA =

	-1/3	2
	-2/3	8/3

Autor: Blogspot

http://mate2jason.blogspot.mx/2014/11/42-algebra-de-matrices.html

4.2.1 Tipos de Matrices (Cuadrada, Rectangular, Triangular, Matriz Identidad, Matriz Transpuesta).

Matriz fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna

La matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

(A^t)^t = A

(A + B)^t = A^t + B^t

(α ·A)^t = α· A^t

(A · B)^t = B^t · A^t

Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma a_ii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.

Tipos de matrices cuadradas

Matriz triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz regular

Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular

Una matriz singular no tiene matriz inversa.

Matriz idempotente

Una matriz, A, es idempotente si:

A² = A.

Matriz involutiva

Una matriz, A, es involutiva si:

A² = I.

Matriz simétrica

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = A^t.

Matriz antisimétrica o hemisimétrica

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = −A^t.

Matriz ortogonal

Una matriz es ortogonal si verifica que:

A · A^t = I.

Autor: Vitutor

http://www.vitutor.com/algebra/matrices/tipos.html

4.2.2 Operaciones con Matrices (Suma, Diferencia, Multiplicación por Escalar y Producto de Matrices)

Suma y diferencia de matrices

Producto por un escalar por una matriz

Producto de un número real por una matriz

Producto de matrices

M_{m x n} x M_{n x p}= M _{m x p}

Autor: blogspot

http://introduccionmate-administracion.blogspot.mx/2014/11/422-operaciones-con-matrices.html

4.2.3 Propiedades de las Operaciones con Matrices

Propiedades de la suma de matrices

1. Interna

La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.

2. Asociativa

A + (B + C) = (A + B) + C

3. Elemento neutro

A + 0 = A

Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.

4. Elemento opuesto

A + (−A) = O

La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.

5. Conmutativa

A + B = B + A

Propiedades

1 a · (b · A) = (a · b) · A A Pertenece

M_mxn, a, b Pertenece

2 a · (A + B) = a · A + a · BA, B Pertenece

M_mxn , a

3 (a + b) · A = a · A + b · A A Pertenece

M_mxn , a, b Pertenece

4 1 · A = A A Pertenece

M_mxn

Propiedades del producto de matrices

1 Asociativa:

A · (B · C) = (A · B) · C

2 Elemento neutro:

A · I = A

Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.

3 Distributiva del producto respecto de la suma:

A · (B + C) = A · B + A · C

4 No es Conmutativa:

A · B ≠ B · A

Ejemplo

Podemos ver que en este caso, A · B ≠ B · A, de hecho ni si quiera tienen la misma dimensión, pues A · B ∈ M_2x2 y B · A ∈ M_3x3.

Autor: Blogspot

http://introduccionmate-administracion.blogspot.mx/2014_11_20_archive.html

4.2.4 Matriz Inversa

Autor: Blogspot

http://introduccionmate-administracion.blogspot.mx/2014_11_20_archive.html

4.3 Determinantes

Cálculo de determinantes

Determinante de orden uno

|a₁₁| = a₁₁

Ejemplo

|−2| = −2

Determinante de orden dos

= a ₁₁ a ₂₂ − a ₁₂a ₂₁

Ejemplo

Determinante de orden tres

Se aplica la regla de Sarrus:

Ejemplo

Cálculo de un determinante de cualquier orden

Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó −1.

Seguiremos los siguientes pasos:

1 Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor número posible de elementos nulos).

2 En caso negativo seguiremos alguno de los siguientes pasos:

1. Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos nulos y operaremos para que uno de los elementos de esa línea sea un 1 ó un −1 (operando con alguna línea paralela).

2. Dividiendo la línea fila (o la columna) por uno de sus elementos, por lo cual deberíamos multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varie. Es decir, sacamos factor común en una fila (o una columna) de uno de sus elementos.

3 Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos los elementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros.

4 Tomamos el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un determinante de orden inferior en una unidad al original.

= 2(−58)= − 116

Autor: Vitutor

http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/calculo.html

4.3.1 Definición de un Determinante

En Matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

Autor: Wikipedia

https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)

4.3.2 Expansión por Cofactores

Expansión por cofactores de un determinante.

Se puede probar el siguiente

Teorema

Todo determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de un renglón (o columna) cualquiera por sus cofactores correspondientes.

Esto es

(2)

es el desarrollo del determinante D por el renglón i, y similarmente

(3)

es el desarrollo del determinante D por la columna k.

Las expresiones (2) y (3) son fórmulas completamente generales, cualquier determinante de cualquier dimensión se puede evaluar usando estas fórmulas.

Ejemplo 3.

Desarrollar por cofactores del segundo renglón y calcular el valor del determinante D.

Para expandir D, por cofactores del segundo renglón, calculamos primero los cofactores A₂₁, A₂₂ y A₂₃ de los elementos del segundo renglón.

Entonces

Ejemplo 4.

Desarrollar por cofactores de la primera columna y calcular el valor del determinante D del ejemplo 3 para verificar que obtenemos el mismo valor.

Para expandir por cofactores de la primera columna, primero evaluamos los cofactores A₁₁, A₂₁, A₃₁ de los elementos de la primera columna:

Entonces

Ejemplo 5.

Considere la matriz A y calcule su determinante det A

Para evaluar el determinante de A usamos la fórmula (2) que permite desarrollar un determinante por cofactores de una columna. Observe que la primera columna de A consta de tres ceros y un 2. Desarrollando por la columna (1) se tiene

Aún falta evaluar el determinante de 3x3, que desarrollamos por cofactores de la columna 3 porque dos de sus elementos son ceros, entonces

Ejemplo 6.

El determinante de una matriz triangular.

Considere la matriz B triangular, calcule det B

Entonces, desarrollando por cofactores de la primera columna, y desarrollando los menores correspondientes de la misma forma, se tiene

Así que, el determinante de una matriz triangular es el producto de sus elementos en la diagonal principal.

Autor: fcm.ens.uabc.mx

http://fcm.ens.uabc.mx/~matematicas/algebralineal/III%20Dets/menores%20y%20cofactores.htm

4.3.3 Propiedades de los Determinantes

Propiedades

El determinante de una matriz es un invariante algebraico, lo cual implica que dada una aplicación lineal todas las matrices que la represente tendrán el mismo determinante. Eso permite definir el valor del determinante no sólo para matrices sino también para aplicaciones lineales.
El determinante de una matriz y el de su traspuesta coinciden: $\det(A^t)=\det(A)\,$

Una aplicación lineal entre espacios vectoriales es invertible si y sólo si su determinante no es nulo. Por lo tanto, una matriz con coeficientes en un cuerpo es invertible si y sólo si su determinante es no nulo.

Determinante del producto

Una propiedad fundamental del determinante es su comportamiento multiplicativo frente al producto de matrices:

$\det(\mathbf{AB}) = \det(\mathbf{A})\cdot\det(\mathbf{B})$

Esta propiedad es más trascendente de lo que parece y es muy útil en el cálculo de determinantes. En efecto, supongamos que queremos calcular el determinante de la matriz

\mathbf{A}

y que

\mathbf{U}

es cualquier matriz con derminante uno (el elemento neutro respecto al producto del cuerpo). En este caso, se verifica que:

\det(\mathbf{A}) \; = \; \det(\mathbf{A})\cdot\det(\mathbf{U}) \; = \; \det(\mathbf{AU}) \quad \quad \det(\mathbf{A}) \;= \;\det(\mathbf{U})\cdot\det(\mathbf{A}) \; = \; \det(\mathbf{UA}) \,

Una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar mediante una matriz. La matriz asociada a la composición de aplicaciones lineales entre espacios de dimensión finita se puede calcular mediante el producto de matrices. Dadas dos aplicaciones lineales

u\,

v\,

, se cumple lo siguiente:

$\det(u\circ v) = \det(u)\cdot\det(v)$

Matrices en bloques

Sean

A, B, C, D

matrices

n\times n, n\times m, m\times n, m\times m

respectivamente. Entonces

\det \left | \begin{array}{cc}A& 0\\ C& D\end{array} \right | = \det \left | \begin{array}{cc}A& B\\ 0& D\end{array} \right | = \det|A| \det|D| .

Esto se puede ver de la formula de Leibiniz Leibniz formula. Empleando la siguiente identidad

\left | \begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array} \right | = \left |\begin{array}{cc}A& 0\\ C& I\end{array} \right | \times \left | \begin{array}{cc}I& A^{-1} B\\ 0& D - C A^{-1} B\end{array} \right |

vemos que para una matriz general, A y D deben ser cuadradas y A regular.

\det \left | \begin{array}{cc} A& B\\ C& D\end{array} \right | = \det | A| \det \left | D - C A^{-1} B \right | .

Análogamente, se puede obtener una identidad similar con

\det(D)

factorizado.⁸

d_{ij}

son matrices diagonales,

\det \left | \begin{array}{ccc}d_{11} & \ldots & d_{1c}\\ \vdots & & \vdots\\ d_{r1} & \ldots & d_{rc} \end{array} \right | = \det \left | \begin{array}{ccc}\det(d_{11}) & \ldots & \det(d_{1c})\\ \vdots & & \vdots\\ \det(d_{r1}) & \ldots & \det(d_{rc}) \end{array} \right |.

⁹

Derivada de la función determinante

La función determinante puede definirse sobre el espacio vectorial formado por matrices cuadradas de orden n. Dicho espacio vectorial puede convertirse fácilmente en un espacio vectorial normado mediante la norma matricial, gracias a lo cual dicho espacio se convierte en un espacio métrico y topológico, donde se pueden definir límites e incluso derivadas. El determinante puede definirse como un morfismo del álgebra de las matrices al conjunto de los elementos del cuerpo sobre el que se definen las matrices:

$\det: M_{n\times n}(\mathbb{K}) \to \mathbb{K}$

El diferencial de la función derivada (o jacobiana) viene en términos de la matriz de adjuntos:

$\frac{\part \det(\mathbf{A})}{\part \mathbf{H}}:= D(\det)|_\mathbf{A}(\mathbf{H}) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\det(\mathbf{A+\epsilon H}) - \det(\mathbf{A})}{\epsilon} = \mbox{tr}\left(\mbox{adj}(\mathbf{A})\ \mathbf{H} \right)$

Donde:

\mbox{adj}(\mathbf{A})

es la matriz de adjuntos.

\mbox{tr}(\cdot)

, es la traza de la matriz.

Autor: Wikipedia

https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)#Propiedades_3

4.3.4 Regla de Cramer

Regla de Cramer

La regla de Cramer se aplica para resolver sistemas de ecuaciones lineales que cumplan las siguientes condiciones:

1 El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

2 El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

Tales sistemas son sistemas compatibles determinados y se denominan sistemas de Cramer.

Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes.

Todo sistema de Cramer tiene una sola solución (es decir, es un sistema compatible determinado) que viene dada por las siguientes expresiones:

Δ₁, Δ₂ , Δ₃, ... , Δ_n son los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la 1ª columna, en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente.

...

Ejemplo

Como el sistema no es un sistema de Cramer, debemos transformarlo.

Como

, podemos limitarnos a estudiar el sistema:

Estamos ante un sistema con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y con determinante de la matriz de coeficientes distinto de cero. Es decir, estamos ante un sistema de Cramer.

Las soluciones de este sistema de Cramer, que vendrán dadas en función de λ serán las mismas que las del sistema original.

Autor: Vitutor

http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/cramer.html

4.4 Aplicaciones: Modelo insumo-producto, análisis de ventas y comportamiento del consumidor

A fin de presentar en las siguientes líneas la esencia del modelo de Insumo–Producto, imaginemos una economía sin comercio exterior y sin impuestos, para simplificar la exposición. Pensemos en una matriz insumo–producto esquemática como la que se muestra a continuación (véase Leontief, 1986 y Millery Blair, 1985).

Donde el elemento típico de W es W_ij, que representa las ventas del sector i al j, f es un vector columna que muestra las ventas del sector i a la demanda final y y es un vector hilera que muestra los pagos del sector j a los factores de producción.

Entonces, la matriz insumo producto se puede representar alternativamente como:

que no es más que una representación de la matriz insumo producto en términos de flujos.

Definamos ahora W_ij = a_ij q_j , es decir el coeficiente a_ij = W_ij / q_j , y tenemos:

que, expresado en forma matricial, se reduce a:

q = Aq + f

donde la matriz A es la matriz de coeficientes cuyo elemento típico es a_ij.

Hasta ahora, el sistema no es más que una forma contable de representación de flujos en la matriz de Insumo–Producto y no se ha postulado ningún comportamiento económico. Sin embargo, si se piensa en este sistema como un sistema de ecuaciones que representa el funcionamiento de una economía y se hace el supuesto de que los sectores operan con funciones de producción que no permiten sustituibilidad entre insumos (coeficientes a_ijfijos), podemos entonces imaginar que el sistema describe la formación de la oferta y demandas. Se tiene entonces la representación de un modelo económico en el que los precios de los factores son fijos.

Este sistema tiene la siguiente solución:

donde la matriz B es conocida como la matriz inversa de Leontief o matriz de multiplicadores (análoga al multiplicador keynesiano).

La matriz B = (I –A)–¹ es fundamental en el análisis insumo–producto, pues muestra los impactos totales de la demanda de producto de cada sector en el resto de los sectores. Es decir, esta matriz tiene características análogas a las del multiplicador keynesiano pues permite incorporar la interdependencia tecnológica del sistema productivo y rastrear la generación de la demanda final hacia atrás en el sistema. Entonces permite calcular cuánta producción se requiere para atender diversos niveles de demanda final y, en consecuencia, cómo deberían cambiar los niveles de producción para satisfacer esos cambios en la demanda final, los que pueden provenir de, por ejemplo, aumentos en los montos de inversión, pública y/o privada, además de otros componentes de la demanda final. Nótese que, en la medida en que se pueden estimar los niveles de producción requeridos en todos los sectores para satisfacer el cambio en la demanda final, se pueden también estimar los requerimientos de insumos, empleo e ingreso de todos los sectores.

Autor: Blogspot

http://blogmatematicasiijimgiova.blogspot.mx/2014/11/44-aplicaciones-modelo-insumo-producto.html

RESUMEN: Esta unidad trata sobre sistemas de ecuaciones lineales y matrices, así como sus propiedades, operaciones, tipos y métodos.

BIBLIOGRAFIAS

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Jimmy Giovanni Sanchez Reyes. (jueves, 27 de noviembre de 2014). Aplicaciones :Modelo insumo-producto, análisis de ventas y comportamiento del consumidor.. jueves, 27 de noviembre de 2014, de blogger Sitio web: http://blogmatematicasiijimgiova.blogspot.mx/2014/11/44-aplicaciones-modelo-insumo-producto.html

Gabriela Miraba. (Publicado el 14 sept. 2012). Modelo Insumo Producto. el 14 sept. 2012, de youtube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=nbwsIfniIc8

sábado, 10 de octubre de 2015

INDICE

lunes, 5 de octubre de 2015

UNIDAD 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

Ecuación lineal con n incógnitas

Solución de una ecuación lineal

Ecuaciones equivalentes

Sistemas de ecuaciones lineales

Solución de un sistema

Método gráfico

Igualación

Sustitución

Reducción

Sistemas de ecuaciones equivalentes

Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones

Método de Gauss

Eliminación de Gauss-Jordan

Expresión matricial de un sistema lineal

Operaciones en renglones de matrices

Cambio de renglones

Multiplicar un renglón por un número

Sumar renglones

Sumando múltiplos de renglones

Desarrollo

Sistemas homogéneos

Ejemplos

Matriz fila

Matriz columna

Matriz rectangular

Matriz traspuesta

Matriz nula

Matriz cuadrada

Tipos de matrices cuadradas

Matriz triangular superior

Matriz triangular inferior

Matriz diagonal

Matriz escalar

Matriz identidad o unidad

Matriz regular

Matriz singular

Matriz idempotente

Matriz involutiva

Matriz simétrica

Matriz antisimétrica o hemisimétrica

Matriz ortogonal

Propiedades de la suma de matrices

1. Interna

2. Asociativa

3. Elemento neutro

4. Elemento opuesto

5. Conmutativa

Propiedades

Propiedades del producto de matrices

Ejemplo

Cálculo de determinantes

Determinante de orden uno

Ejemplo

Determinante de orden dos

Determinante de orden tres

Cálculo de un determinante de cualquier orden

Teorema

Propiedades

Determinante del producto

Matrices en bloques

Derivada de la función determinante

Regla de Cramer

Ejemplo

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