Objetivo: El alumno comprenderá el concepto de integral definida así como su interpretación gráfica. Resolverá problemas de aplicación geométrica al mismo tiempo que resolverá problemas del entorno económico-administrativo.

El alumno aplicará técnicas adicionales para la resolución de integrales que presentan estructuras complejas asociadas con modelos y problemas del entorno económico-administrativo.

El alumno entenderá los conceptos elementales del álgebra lineal y los aplicará en problemas del ámbito económico y de gestión de negocios.

3.1 Área Bajo la Curva

Área Bajo una Curva

La formulación del área bajo una curva es el primer paso para desarrollar el concepto de integral. El área bajo la curva formada por el trazo de la función f(x) y el eje x se puede obtener aproximadamente, dibujando rectángulos de anchura finita y altura f igual al valor de la función en el centro del intervalo.

Si hacemos mas pequeño la anchura del rectángulo, entonces el número N es mas grande y mejor la aproximación al valor del área.

Autor: hyperphysics

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/integ.html

3.2 Teorema Fundamental del Cálculo

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función acotada e integrable (siendo continua o discontinua en un número finito de puntos) verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.

Intuición geométrica

El área rayada en rojo puede ser calculada como h × f(x), o si se conociera la función A(X), como A(x+h) − A(x). Estos valores son aproximadamente iguales para valores pequeños de h.

Su póngase que se tiene una función continua y = f(x) y que su representación gráfica es una curva. Entonces, para cada valor de x tiene sentido de manera intuitiva pensar que existe una función A(x) que representa el área bajo la curva entre 0 y x aún sin conocer su expresión.

Su póngase ahora que se quiere calcular el área bajo la curva entre x yx+h. Se podría hacer hallando el área entre 0 y x+h y luego restando el área entre 0 y x. En resumen, el área de esta especie de "loncha" sería A(x+h) −A(x).

Otra manera de estimar esta misma área es multiplicar h por f(x) para hallar el área de un rectángulo que coincide aproximadamente con la "loncha". Nótese que la aproximación al área buscada es más precisa cuanto más pequeño sea el valor de h.

Por lo tanto, se puede decir que A(x+h) − A(x) es aproximadamente igual a f(x) · h, y que la precisión de esta aproximación mejora al disminuir el valor de h. En otras palabras, ƒ(x)·h ≈ A(x+h) − A(x), convirtiéndose esta aproximación en igualdad cuando h tiende a 0 como límite.

Dividiendo los dos lados de la ecuación por h se obtiene

f(x) \approx \frac{A(x+h)-A(x)}{h}.

Cuando h tiende a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuación es sencillamente la derivada A’(x) de la función A(x) y que el miembro izquierdo se queda en ƒ(x) al ya no estar h presente.

Se muestra entonces de manera informal que ƒ(x) = A’(x), es decir, que la derivada de la función de área A(x) es en realidad la función ƒ(x). Dicho de otra forma, la función de área A(x) es la antiderivada de la función original.

Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una función y "hallar el área" bajo su curva son operaciones "inversas", es decir el objetivo del teorema fundamental del cálculo integral.

Primer teorema fundamental del cálculo

Dada una función f integrable sobre el intervalo $[a,b]$ , definimos F sobre $[a,b]$ por $F(x) = {\int_{a}^x f(t)dt}$ . Si f es continua en $c \in (a,b)$ , entonces F es derivable en $c$ y F'(c) = f(c).

Usando la Regla de la cadena obtenemos como consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal:

$\frac{d}{dx}{\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt} = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)$

Siendo f(t) una función integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x) derivables.

Demostración

Lema

Sea $f$ integrable sobre

[a,b]

m \leq f(x) \leq M \; \forall x \in [a,b]

Entonces

m(b-a) \leq {\int_a^b f(t)dt} \leq M(b-a)

Demostración del lema

Está claro que

m(b-a)\leq L(f,P) \ \hbox{y}\ U(f,P) \leq M(b-a)

para toda partición

P

. Puesto que

\int_{a}^{b}f = \sup {L(f,P)}=\inf{U(f,P)}

, la desigualdad se sigue inmediatamente.

Demostración

Por definición se tiene que

F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} }

Sea h>0. Entonces

F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt}

Se define

m_h

M_h

como:

m_h = \inf\{f(x)| c\leq x \leq c+h\}

M_h = \sup\{f(x)| c\leq x \leq c+h\}

Aplicando el 'lema' se observa que

m_h \cdot h \leq {\int_c^{c+h} f(t)dt} \leq M_h \cdot h

Por lo tanto,

m_h \leq \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \leq M_h

Sea

h < 0

. Sean

{m^*}_h = \inf \{ f(x)|c+h \leq x \leq c \}

{M^*}_h = \sup \{ f(x)|c+h \leq x \leq c \}

Aplicando el 'lema' se observa que

{m^*}_h \cdot (-h) \leq {\int_{c+h}^c f(t)dt } \leq {M^*}_h \cdot (-h)

Como

F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt} = -{\int_{c+h}^{c} f(t)dt}

entonces,

{M^*}_h \cdot h \leq F(c+h)-F(c) \leq {m^*}_h \cdot h

Puesto que

h < 0

, se tiene que

{m^*}_h \leq \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \leq {M^*}_h

Y como $f$ es continua en c se tiene que

\lim_{h \rightarrow 0} m_h = \lim_{h \rightarrow 0} M_h = \lim_{h \rightarrow 0} {m^*}_h = \lim_{h \rightarrow 0} {M^*}_h = f(c)

y esto lleva a que

F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} } = f(c)

Ejemplos

F(x) = \int_{0}^{x} t^2 dt \quad\Rightarrow\quad F'(x) = x^2

H(x) = \int_{0}^{e^{3x}} \sin(t) dt \quad\rightarrow\quad H'(x) = \sin(e^{3x}) e^{3x} \cdot3

G(x) = \int_{0}^{x^2} \arcsin(t) dt\quad \rightarrow\quad G'(x) = \arcsin(x^2) \cdot 2x

J(x) = \int_{0}^{\int_{a}^{x} \frac{1}{(1+\sin^2t)}dt} \frac{1}{(1+\sin^2t)} dt\quad \rightarrow\quad J'(x)= \frac{1}{(1+\sin^2(\int_{a}^{x} \frac{1}{(1+\sin^2t)}dt))} \,\cdot\, \frac{1}{(1+\sin^2x)}

Otra demostración

Cogiendo un intervalo cerrado

[a,x]

sobre

[a,b]

, ya que

f(t)

es continua en

[a,b]

, también lo será en

[a,x]

Según el teorema del valor medio para integrales se cumple que:

$\exists \xi\in[a,x] : \quad f(\xi)= \frac{1}{x-a}\int_{a}^{x}f(t)dt$

Haciendo el intervalo muy pequeño de tal manera que

x \longrightarrow \ a

y debido a esa tendencia se tiene también que

\xi \longrightarrow \ a

Por lo que en los límites se llega a:

$\lim_{\xi \to a} f(\xi) = \lim_{x \to a} \frac{\int_{a}^{x}f(t)dt}{x-a}$

Sabemos que :

\int_{a}^{a}f(t)dt = 0

Entonces la ecuación se la puede escribir como :

$\lim_{\xi \to a} f(\xi) = \lim_{x \to a} \frac{\int_{a}^{x}f(t)dt - \int_{a}^{a}f(t)dt}{x-a}$

Dado que

F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt

, entonces

F(a)=\int_{a}^{a}f(t)dt

$\lim_{\xi \to a} f(\xi) = \lim_{x \to a} \frac{F(x) - F(a)}{x-a}$

Y debido a que

f(t)

es continua en a, entonces

\lim_{\xi \to a} f(\xi) = f(a)

$f(a) = \lim_{x \to a} \frac{F(x) - F(a)}{x-a}$

Vista la ecuación de otra manera:

$f(x)|_{x=a} = \frac{dF(x)}{dx}|_{x=a}$

Por lo tanto

$\frac{dF(x)}{dx} = f(x)$

O también

$\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt = f(x)$

Y en consecuencia

$\forall c\in(a,b) : \quad \frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt\ |_{x=c} = f(c)$

Con ello se demuestra el primer teorema fundamental del cálculo.

Segundo teorema fundamental del cálculo

El segundo teorema fundamental del cálculo integral (o regla de Newton-Leibniz, o también regla de Barrow, en honor al matemático inglés Isaac Barrow, profesor de Isaac Newton) es una propiedad de las funciones continuas que permite calcular fácilmente el valor de la integral definida a partir de cualquiera de las primitivas de la función.

Enunciado

Dada una función f(x) continua en el intervalo [a,b] y sea F(x) cualquier función primitiva de f, es decir F '(x) = f(x). Entonces

$\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$

Demostración

Considere la siguiente primitiva de

f

definida en el intervalo

[a,b]

G(x)= \int_a^x f(t)dt

esto debido al primer teorema fundamental del cálculo el cual establece que:

G'(x)=f(x) {\ } \forall x \in [a,b]

Como

G

F

son primitivas de

f

, entonces

\exists C \in \mathbb{R}: {\ }G(x)=F(x)+C, {\ } \forall x \in [a,b]

Observe que

0=G(a)=F(a)+c \,

y de eso se sigue que

c=-F(a) \,

; por lo tanto,

G(x) = F(x) - F(a) \,

Y en particular si

x=b

\int_a^b f(t)dt = G(b) = F(b) - F(a)

Ejemplos

\int_0^{\pi} \cos(x)dx = \sin(\pi)-\sin(0)=0

\int_1^e \frac{dx}{x} = \ln(e)-\ln(1)=1

Como se puede integrar inmediatamente.

Autor: Wikipedia

https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo

3.3 Propiedades de la Integral Definida

Integral definida

Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.

La integral definida se representa por .

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Propiedades de la integral definida

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

Función integral

Sea f(t) una función continua en el intervalo [a, b]. A partir de esta función se define la función integral:

que depende del límite superior de integración.

Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la variable de f, se la llama t, pero si la referencia es a la variable de F, se la llama x.

Geométricamente la función integral, F(x), representa el área del recinto limitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.

A la función integral, F(x), también se le llama función de áreas de f en el intervalo [a, b].

Autor: Vitutor

http://www.vitutor.com/integrales/definidas/integral_definida.html

3.4 Área Entre Una y Dos Curvas

Área comprendida entre dos funciones

El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.

Ejemplos

1. Calcular el área limitada por la curva y = x² − 5x + 6 y la recta y = 2x.

En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.

De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola.

2.Calcular el área limitada por la parábola y² = 4x y la recta y = x.

De x = o a x = 4, la parábola queda por encima de la recta.

3.Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones 3y =x² e y = −x² + 4x.

En primer lugar representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.

Hallamos también los puntos de corte de las funciones, que nos darán los límites de integración.

4. Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas y= x²− 2x, y = −x² + 4x.

Representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.

5.Hallar el área de de la región limitada por las funciones:

y = sen x, y = cos x, x = 0.

En primer lugar hallamos el punto de intersección de las funciones:

La gráfica del coseno queda por encima de la gráfica del seno en el intervalo de integración.

Autor: Inetor

http://www.inetor.com/definidas/integral_area2.html

3.5 Aplicaciones: Excedente del Consumidor y del Productor, Valor Presente y Valor Futuro

Excedente del consumidor

Podemos definir el excedente del consumidor como la diferencia entre el precio máximo que estaría dispuesto a pagar y el precio que realmente paga. Consideremos la siguiente curva de demanda de un individuo, si el precio de mercado es p_Edemandara q_E. No obstante, por la primera unidad hubiera estado dispuesto a pagar mucho más p₁, por la segunda unidad algo menos que por la primera pero más de lo que realmente paga, y así sucesivamente hasta la cantidad q_Een donde coincide el precio que paga y el que está dispuesto a pagar. Gráficamente, la zona que muestra la divergencia entre la disposición marginal a pagar y el precio satisfecho reflejaría el excedente del consumidor.

Excedente del productor

Para estimar el excedente del productor deberemos de partir de la función de oferta. Dado un precio en el mercado p_E, compararemos el precio al que estarían dispuesto a ofrecer cada unidad de mercancía con el precio que realmente perciben. Y observaremos que hasta q_E el empresario por cada unidad ofrecida recibe un precio superior al que estaría dispuesto a percibir. Dicha zona delimita gráficamente el excedente del productor.

Autor: bolgspot

http://matematicas2jairoreyes.blogspot.mx/2014/11/35-aplicaciones-excedente-del.html

RESUMEN: La unidad 3 trata sobre la integral definida, así como el área bajo la curva y el teorema fundamental de cálculo.

BIBLIOGRAFIAS:

hyperphysics. (2012). Área Bajo una Curva. 2012, de http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/ Sitio web: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/integ.html

cetremo14. (Publicado el 9 mar. 2012). Cálculo Integral - Tutorial de Área bajo la curva. el 9 mar. 2012, de youtube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=5vY4vML5wTw

WIKIPEDIA. (el 17 nov 2015 a las 09:43.). Teorema fundamental del cálculo. 17 nov 2015 a las 09:43, de wikipedia Sitio web: https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo

Me Salva!. (Publicado el 7 may. 2014). Me Salva! INT14 - Teorema fundamental do cálculo. el 7 may. 2014, de youtube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=igeUS5PytV4

VITUTOR. (2012). Integral definida. 2012, de vitutor Sitio web: http://www.vitutor.com/integrales/definidas/integral_definida.html

Academatica. (Subido el 15 mar. 2011). Propiedades de la integral definida. el 15 mar. 2011, de youtube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=QwAgIWikGwk

Inetor. (2012). Área comprendida entre dos funciones. 2012, de inetor Sitio web: http://www.inetor.com/definidas/integral_area2.html

unicoos. (Subido el 7 ene. 2012). Area entre funciones 02 BACHILLERATO integral definida. el 7 ene. 2012, de youtube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=XYV2NpMZB44

Matemáticas II. (miércoles, 26 de noviembre de 2014). aplicaciones: Excedente del Consumidor y del Productor, valor presente y valor futuro. miércoles, 26 de noviembre de 2014, de blogger Sitio web: http://matematicas2jairoreyes.blogspot.mx/2014/11/35-aplicaciones-excedente-del.html

Efrain Nava Alvarez. (Publicado el 6 abr. 2012). Excedente o superávit del consumidor y del productor con Geogebra. el 6 abr. 2012, de youtube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=66YeIjunXJ0

MATEMÁTICAS II

sábado, 5 de septiembre de 2015

UNIDAD 3. INTEGRAL DEFINIDA

Área Bajo una Curva

Lema

Integral definida

Integral definida

Propiedades de la integral definida

Función integral

Área comprendida entre dos funciones

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