Objetivo: El alumno entenderá el concepto de integral y su relación con la derivada. Resolverá problemas de aplicación dando énfasis a aquellos relacionados con las áreas económico-administrativas tales como: Economía, Mercadotecnia, Administración, Turismo, Recursos Humanos, Sistemas de Información y Negocios Internacionales.

2.1 Antiderivada

En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f.

Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.

Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F₁ y F₂ son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F₁ = F₂ + C. A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:

\int{f}

\int{f(x)dx}

El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo, y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.

Ejemplo:

Una primitiva de la función

\scriptstyle f(x)=\cos(x)

\scriptstyle \mathbb{R},

es la función

\scriptstyle F(x)=\sin(x)

ya que:

$\frac{d}{dx}(\sin(x))=\cos(x)\ \forall x\in\mathbb{R}$

Dado que la derivada de una constante es cero, tendremos que cos(x) tendrá un número infinito de primitivas tales como sin(x), sin(x) + 5, sin(x) - 100, etc. Es más, cualquier primitiva de la función f(x) = cos(x) será de la forma sin(x) + C donde C es una constante conocida como constante de integración.

Autor: Wikipedia

https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_indefinida

2.2 Integral Indefinida

Integración

Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:

F'(x) = f(x).

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Integral indefinida

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por ∫ f(x) dx.

Se lee : integral de f de x diferencial de x.

∫ es el signo de integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Propiedades de la integral indefinida

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

Autor: Vitutor

http://www.vitutor.com/integrales/indefinidas/integral_indefinida.html

2.2.1 Integración con Condiciones Iniciales

Autor: Blogspot

http://mate2udg.blogspot.mx/2014/11/221-integracion-con-condiciones.html

2.3 Fórmulas Básicas de Integración

Fórmulas de integrales

Sean a, k, y C constantes (números reales) y consideremos a u como función de x y a u' como la derivada de u.

Autor: Inetor

http://www.inetor.com/indefinidas/formulas_integrales.html

2.3.1 Integral Indefinida de una Constante

Integral de una constante

La integral de una constante es igual a la constante por x.

Ejemplo

Integral de cero

Autor: Inetor

http://www.inetor.com/indefinidas/integral_constante.html

2.3.2 Integral de una Constante por una Variable

En esta sección se presenta una discusión de dos formas de una constante a una potencia variable. Las dos formas son

, donde u es una variable, a es cualquier constante, y E es una constante definida.

Fórmula.

PRUEBA:

Por lo tanto,

Ejemplo: Evaluar

SOLUCIÓN: Let

de modo que

La integral es en la forma correcta de utilizar

Por lo tanto, el uso de la sustitución, encontramos

Ejemplo: Evaluar

SOLUCIÓN: Let

de modo que

Necesitamos un factor de 2 en la integral de manera que

Ejemplo: Evaluar

SOLUCIÓN: Let

de modo que

Aquí se necesita un factor de 4 en la integral; por lo tanto,

Autor: blogspot

http://mate2jason.blogspot.mx/2014/11/232-integral-de-una-constante-por-una.html

2.3.3 Integral de X^n

Potencia de x.

$(integral)$ xⁿ dx = x⁽ⁿ⁺¹⁾ / (n+1) + C (n -1)

$(integral)$ 1/x dx dx = ln|x| + C

Exponente / Logaritmo

$(integral)$ e^x dx = e^x + C	$(integral)$ b^x dx = b^x / ln(b) + C
$(integral)$ ln(x) dx = x ln(x) - x + C

Trigonométrica

$(integral)$ sen x dx = -cos x + C	$(integral)$ cos x dx = sen x + C	$(integral)$ tan x dx = -ln\|cos x\| + C
$(integral)$ csc x dx = - ln\|csc x + cot x\| + C	$(integral)$ sec x dx = ln\|sec x + tan x\| + C	$(integral)$ cot x dx = ln\|sen x\| + C

Resuelta Trigonométrica

$(integral)$ cos x dx = sen x + C	$(integral)$ sen x dx = -cos x + C	$(integral)$ sec²x dx = tan x + C
$(integral)$ csc x cot x dx = -csc x + C	$(integral)$ sec x tan x dx = sec x + C	$(integral)$ csc²x dx = -cot x + C

Trigonométrica Inversa

$(integral)$ arcsen x dx =

$sqrt$ (1-x²)

+ C

$(integral)$ arccsc x dx =

-1

|x| $sqrt$ (x²-1)

+ C

$(integral)$ arccos x dx =

-1

$sqrt$ (1-x²)

+ C

$(integral)$ arcsec x dx =

|x| $sqrt$ (x²-1)

+ C

$(integral)$ arctan x dx =

1+x²

+ C

$(integral)$ arccot x dx =

-1

1+x²

+ C

Hyperbólica

$(integral)$ senh x dx = cosh x + C	$(integral)$ cosh x dx = senh x + C	$(integral)$ tanh x dx = ln( cosh x ) + C
$(integral)$ csch x dx = ln( tanh(x/2) ) + C	$(integral)$ sech x dx = atan( senh x ) + C	$(integral)$ coth(x) dx = ln( senh x ) + C

Autor: Math2.org

http://math2.org/math/integrals/es-tableof.htm

2.3.4 Integral de e^n

$(integral)$ e^{^x} dx : Desde la derivada

Dado : $(d/dx)$ e^{^x} = e^{^x}. Teorema Fundamental de Cálculo

e^{^x} = $(d/dx)$ e^{^x}

$(integral)$ e^{^x} dx = e^{^x} + c (constante C)

Autor: blogspot

http://manasorey1.blogspot.mx/2014/11/234-integral-de-en.html

2.3.5 Integral de una Constante por una Función de X

Integración

Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:

F'(x) = f(x).

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Autor: blogspot

http://mate2jason.blogspot.mx/2014/11/235-integral-de-una-constaste-por-una.html

2.3.6 Integral de una Suma (diferencia) de Funciones

(a) Reglas de sumas y diferencias

[f(x) ± g(x)] dx

f(x) dx

g(x) dx

En palabras:

La integral de la suma de dos funciones es la suma de las integrales de las funciones individuales, y la integral de la diferencia de dos funciones es la diferencia de las integrales de las funciones individuales.

(b) Regla de múltiples constantes

f(x) dx

(k constant)

En palabras:

Para tomar la integral de una constante multiplicada por una función, se toma la integral de la función sola, y después se multiplica la respuesta por la constante. (En otras palabras el constante "sigue para el paseo" )

¿Por qué son válidas estas reglas? Porque la derivada de una suma es la suma de las derivadas, y el caso es parecido para diferencias y múltiplos constantes.

Autor: zweigmedia

http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm6.html

2.3.7 Regla de la Potencia

Regla de potencias para integrales

	xⁿ dx	=	xⁿ⁺¹ n + 1	+ C	si n ≠ -1
	x^-1 dx	=	ln\|x\|+ C

En palabras:

Para calcular la integral de xⁿ, se añade 1 al exponente, y se divide por el nuevo exponente. Esta regla es válida siempre y cuando n no sea -1.

Notas

La integral 1 dx se suele escribir como dx.

En forma parecida,

x⁵⁵

se puede escribir como

x⁵⁵

Autor: zweigmedia

http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm6.html

2.3.7.1 Integrales que Incluyen U^n

En el vídeo se explica.

Autor:

https://www.youtube.com/watch?v=DKdOtd72vW8

2.3.7.2 Integrales que Incluyen Funciones Exponenciales

Integrales exponenciales

Ejercicios

Autor: Vitutor

http://www.vitutor.com/integrales/indefinidas/integrales_logaritmicas.html

2.3.8 Integrales que Incluyen Funciones Logarítmicas

Integrales logarítmicas

Ejercicios

Autor: Vitutor

http://www.vitutor.com/integrales/indefinidas/integrales_logaritmicas.html

2.3.9 Integrales que Incluyen (1/u)du

Autor: blogspot

http://blogmatematicasiijimgiova.blogspot.mx/2014/11/239-integrales-que-incluyen-1u-du.html

2.3.10 Integrales que Incluyen A^u

Autor: blogspot
http://matematicas2jazz555udg.blogspot.mx/2014/11/modulo-2-integracion.html

2.3.11 Integral por Partes

Integración por partes

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen comov'.

Caso 1

En este primer caso aplicamos la fórmula directamente, tomando la x como u.

Caso 2

Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces.

Caso 3

Si tenemos una integral con sólo un logaritmo o un "arco", integramos por partes tomando: v' = 1.

Caso 4

Si al integrar por partes aparece en el segundo miembro la integral que hay que calcular, se resuelve como una ecuación.

Pasamos la integral del 2º miembro al 1º.

Sumamos las integrales y multiplicamos en los dos miembros por 4/13.

Sacamos factor común e^3x.

Autor: Vitutor

http://www.vitutor.com/integrales/metodos/integral_partes.html

2.4 Aplicaciones: Determinación de Funciones de Costo, Utilidades, Consumo, y Ahorro a Partir de sus Marginales.

se muestra en el vídeo

RESUMEN: Esta Unidad 2 trata sobre integrales en general, sus formulas, reglas y todo relacionado a integrales.

BIBLIOGRAFIAS:

WIKIPEDIA. (el 18 nov 2015 a las 13:48). Integración indefinida. el 18 nov 2015 a las 13:48, de wikipedia Sitio web: https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_indefinida

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VITUTOR. (2012). Integral indefinida. 2012, de vitutor Sitio web: http://www.vitutor.com/integrales/indefinidas/integral_indefinida.html

Paco Sáez. (Subido el 8 nov. 2011). 2. Integrales. Integrales indefinidas.. el 8 nov. 2011, de youtube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=NY_OqTZkpsE

matematicas 2. (viernes, 21 de noviembre de 2014). Integración con condiciones iniciales Integración con condiciones iniciales . viernes, 21 de noviembre de 2014, de blogger Sitio web: http://mate2udg.blogspot.mx/2014/11/221-integracion-con-condiciones.html

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Jason. (SÁBADO, 22 DE NOVIEMBRE DE 2014). Integral de una constante por una variable. SÁBADO, 22 DE NOVIEMBRE DE 2014, de blogger Sitio web: http://mate2jason.blogspot.mx/2014/11/232-integral-de-una-constante-por-una.html

Salvador FI. (Publicado el 26 ago. 2012). Integral por Cambio de Variable. el 26 ago. 2012, de youtube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=ik4OyNjQQXM

Tablas Matemáticas de David: Tabla de Integrales. (2012). Tablas de Integracion. 2012, de math2.org Sitio web: http://math2.org/math/integrals/es-tableof.htm

marla nayeli sotelo reyes. (martes, 25 de noviembre de 2014). Integral de En. martes, 25 de noviembre de 2014, de blogger Sitio web: http://manasorey1.blogspot.mx/2014/11/234-integral-de-en.html

Derechos de autor © Stefan Waner . (Ultima actualización: junio 2007 ). Integral de una Suma (diferencia) de Funciones. Ultima actualización: junio 2007 , de zweigmedia Sitio web: http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm6.html

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Jimmy Giovanni Sanchez Reyes . (jueves, 27 de noviembre de 2014). Integrales que incluyen (1/u) du. jueves, 27 de noviembre de 2014, de blogger Sitio web: http://blogmatematicasiijimgiova.blogspot.mx/2014/11/239-integrales-que-incluyen-1u-du.html

TucsonMathDoc. (Subido el 21 abr. 2011). *Integral (antiderivative) of: du/(1+u^2). el 21 abr. 2011, de youtube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=2Bv_w8f5Al4

Jazmin Ramirez Martin . (lunes, 3 de noviembre de 2014). Integrales que Incluyen A^u. lunes, 3 de noviembre de 2014, de blogger Sitio web: http://matematicas2jazz555udg.blogspot.mx/2014/11/modulo-2-integracion.html

gerardo valenzuela. (Publicado el 2 may. 2013). Función de ingreso, consumo y ahorro. el 2 may. 2013, de youtube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=-rPyhdVZ7J4

$(integral)$ sen x dx = -cos x + C	$(integral)$ cos x dx = sen x + C	$(integral)$ tan x dx = -ln\|cos x\| + C
$(integral)$ csc x dx = - ln\|csc x + cot x\| + C	$(integral)$ sec x dx = ln\|sec x + tan x\| + C	$(integral)$ cot x dx = ln\|sen x\| + C

MATEMÁTICAS II

sábado, 5 de septiembre de 2015

UNIDAD 2. INTEGRACIÓN

Integración

Integral indefinida

Propiedades de la integral indefinida

Fórmulas de integrales

Integral de una constante

Ejemplo

Integral de cero

Integrales exponenciales

Ejercicios

Integrales logarítmicas

Ejercicios

Integración por partes

Caso 1

Caso 2

Caso 3

Caso 4

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